Matemáticas y Gimnasia Rítmica

El año pasado planteé en mi clase una secuencia de ejercicios inspirados en gimnasia rítica; viendo los resultados y la buena acogida que tuvo, para este curso he vuelto a realizar una secuencia de ejercicios con la misma temática. En esta ocasión son de un nivel superior, están pensados para 2º de Bachillerato CCSS II. Os lo pongo a continuación por si queréis verlo.

Matemáticas fuera de las aulas

 

Me gustan las actividades al aire libre, resolver problemas matemáticos como los de cualquier libro de texto pero en el entorno más próximo puede ser una experiencia muy enriquecedora; a la vez de poner en práctica los aprendizajes en la vida real. Una de estas experencias y de fácill realización puede ser trabajar el teorema de Thales.

Se propone calcular la altura de un edificio sólo con un palo y un metro.

Algo bastante simple, que dota de significado el aprendizaje, y es motivador por salirse de lo considerado normal.

Cuando la gimnasia rítmica motiva a estudiar

Mucho se ha escrito en el mundo del deporte sobre motivación, y no hay lugar dudas cuando se afirma que un deportista rinde mucho más cuando trabaja motivado. Pues esto mismo se puede aplicar al campo de la enseñanza; cuando un estudiante trabaja con ilusión y motivación es más probable que tenga buenos resultados que si estudia con desgana.

Basándome en este ideal y sabiendo que una de mis alumnas es super seguidora de la gimnasia rítmica, decidí hace unos meses adaptar unos ejercicios de estadística y probabilidad para darle un toque "ritmiquero". No sé si será casualidad o no, pero este bloque de contenidos lo ha trabajado con muchísimas ganas y sus notas en matemáticas han subido sustancialmente. Prefiero no creer en la casualidad y sí en la motivación que despierta el ver que estudias algo que se puede aplicar a la vida real; o al menos, que después de darle muchas vueltas a la cabeza se puede relacionar con una gran afición.

Por si alguien tiene curiosidad en conocer cuáles han sido los ejercicios propuestos, os lo dejo a continucación.

Reflexiones sobre el origen de pi

Probablemente el número pi sea el número más estudiado y el que más interés ha despertado a lo largo de los siglos. El número pi 3´141592... es una constante que obtenemos al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro; resulta lógico pensar que si aumenta el diámetro de una circunferencia, también aumente de forma proporcional su longitud, así pues efectivamente la razón de proporción es 3´141592...

Pongamos como ejemplo una circunferencia con diámetro 10 cm. y longitud 31´41592 cm.; si el diámetro lo aumento a 14 cm. la longitud aumentará a 43´982288 cm. Se pueden comprobar la veracidad de estos calculos aplicando la conocida fórmula para calcular la longitud de una circunferencia  L = 2·∏·r 

Hemos comprobado que la piedra angular de estos cálculos reside en el número pi.

Actualmente sabemos que pi es un número irracional con infinitos decimales, pero no siempre ha sido así. Desde muy antiguo se ha intentado calcular todos los decimales de pi creyendo que era un número racional, por esta razón en cada época histórica se ha ido trabajando con una aproximación diferente del número pi. Como anécdota podemos mencionar que indirectamente en la Biblia se menciona al número pi con una aproximación a 3; en Reyes (1. 7, 23) dice: "Hizo fundir asimismo un mar de 10 codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía 5 codos de altura y a su alrededor un cordón de 30 codos".

 Si volvemos a leer detenidamente el pasaje, sacamos como información que la construcción termina en una circunferencia de diámetro 10 codos y longitud 30 codos. Aplicando la relación anterior entre la longitud y el diámetro 30/10, nos resulta pi con un valor de 3.

También en el papiro Rhind, una de las fuentes matemáticas más antiguas que ya nombramos en otra entrada sobre números racionales, se trabaja indirectamente con pi, pero en esta ocasión con un valor mucho más aproximado al actual, 3´160493827. En el problema 50 se pide que se calcule el área de un campo circular que mide 9 khet de diámetro (1 khet son aproximadamente 50 metros)

Nosotros hoy en día trabajaríamos con la fórmula A = ∏·r² con un valor aproximado de pi a 3´14 y resolveríamos sin problemas el ejercicio, pero hay que tener en cuenta que este papiro está fechado en torno al año 1650 AC y no se tenía la noción de pi que tenemos actualmente. Ahmes, el escriba que creó el mencionado papiro nos muestra la solución al problema de la siguiente manera.

Plantea el área del círculo como la de un cuadrado de lado 9

 y dice: "resta al diámetro 1/9 del mismo, que es 1. La diferencia es 8. Ahora multiplíca 8 veces 8, que da 64, ésa es el área del círculo." De sus instrucciones deducimos que la fórmula empleada para calcular el área de las figuras circulares era:

Con la fórmula de Ahmes y la perspectiva que nos da el tiempo, podemos afirmar que de sus cálculos se obtiene un valor de pi 256/81 ó lo que es lo mismo 3´1604938. 

No se sabe exactamente como Ahmes llegó a ese valor, se piensa que al tomar el área del círculo como la de un cuadrado de lado igual al diámetro dividió, el cuadrado en 9 partes exactamente iguales para formar un octógono.

Seguidamente eliminó los triángulos formados en los vértices de los cuadrados y tomó como área del octógono la del cuadrado menos los 4 triángulos de la esquina, resultándole 63. Posiblemente pensó que el octógono al no ajustarse exactamente a la circunferencia, el área de esta última sería algo mayor, de ahí que quedara el área de esta superficie en 64.

Sean como sean los cálculos de este escriba, consiguió encontrar un algoritmo para calcular el área de figuras circulares, además de justificar una aproximación al número pi que no está nada mal para los años a los que nos referimos.

El problema de la señorita Pita

La señora Pita, una gran fumadora durante muchos años, finalmente decidió dejar de fumar. "Acabaré los veintisiete cigarrillos que me quedan", se dijo, «y jamás volveré a fumar".

La costumbre de la señora Pita era fumar exactamente dos tercios de cada cigarrillo. No tardó mucho en descubrir que con la ayuda de una cinta engomada podía pegar tres colillas y hacer otro cigarrillo. Con 27 cigarrillos, ¿cuántos cigarrillos puede fumar antes de abandonar el tabaco para siempre?

Los gatos cazadores (Solución)

Nuestro último reto de Pitágoras del curso pasado fue el de los gatos cazadores, pues como es costumbre, un tiempo después dejamos la solución del mismo.

La respuesta usual de este viejo acertijo es la siguiente: si a tres gatos les lleva tres minutos atrapar tres ratas, debe llevarles un minuto atrapar, cada rata. Y si les lleva un minuto cazar una rata, entonces los mismos tres gatos cazarán 100 ratas en 100 minutos.

Desafortunadamente, no es tan simple; esa respuesta presupone algo que por cierto no está expresado en el problema. Supone que los tres gatos han concentrado su atención en la misma rata hasta cazarla en un minuto, para luego dedicarse en conjunto a otra rata. Pero supongamos que en vez de hacer eso cada gato cace una rata diferente, y le lleve tres minutos atraparla. En ese caso, tres gatos seguirían cazando tres ratas en tres minutos. Les llevaría seis minutos cazar seis ratas, nueve minutos cazar nueve ratas, y 99 minutos cazar 99 ratas.

Ahora debemos enfrentar una curiosa dificultad. ¿Cuánto tiempo les llevará a esos mismos tres gatos cazar la rata número 100? Si les sigue insumiendo tres minutos la cacería, entonces los tres gatos demorarán 102 minutos para cazar las 100 ratas. Para cazar cien ratas en cien minutos - suponiendo que sea ésa la manera en la que los gatos cazan a sus ratas- por cierto necesitaremos más de tres gatos y menos de cuatro.

Por supuesto, es posible que cuando los tres gatos se concentran sobre la misma rata, tal vez puedan acorralarla en menos de tres minutos, pero nada en el enunciado del problema nos dice de qué modo podemos medir exactamente el tiempo que demandará esa operación. La única respuesta correcta al problema, entonces, es ésta: la pregunta es ambigua y no puede responderse si no se da más información acerca de la manera en que esos gatos cazan ratas.

Bilingüismo y matemáticas

¿Lengua o matemáticas? La histórica rivalidad entre cifras y letras puede tener más de mito que de realidad si nos atenemos a los últimos estudios científicos. De hecho, lengua y matemáticas están mucho más relacionadas de lo que se cree, ya que el lenguaje desempeña un papel fundamental en el aprendizaje de algunas operaciones matemáticas simples, como las multiplicaciones.

Con esta hipótesis han trabajado los investigadores del Basque Center on Cognition, Brain and Language (BCBL), que han demostrado que las personas totalmente bilingües –que dominan a la perfección dos idiomas– recurren a la lengua en que aprendieron las matemáticas para realizar cálculos sencillos como una multiplicación.

Además de evidenciar la estrecha relación entre la lengua y las matemáticas, el estudio sugiere que la variable del idioma puede influir de forma decisiva a la hora de abordar las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas de niños escolarizados en un idioma distinto a la lengua en que han aprendido las operaciones básicas. Y puede arrojar luz sobre variaciones en algunos trastornos del aprendizaje de las matemáticas como la discalculia.