¿El tobogán más rápido?

Cuando llegamos a un parque acuático, con frecuencia se nos van los ojos hacia el Kamikaze o tobogán acuático. Resulta magestuoso verlo desde lo lejos dominar a las demás atracciones; y claro, cuando nos atrevemos a subir y lanzarnos, cuanto mayor sea la velocidad que alcancemos, mayor mérito tiene nuestra hazaña.

Pero no es fácil crear el tobagán más rápido, o al menos no fue fácil idearlo a finales del siglo XVII cuando en 1696 la revista Acta Eroditorum planteó el siguiente problema: Dados dos puntos A y B en un plano vertical, ¿cuál es la curva que debe describir un móvil M, sometido exclusivamente a la acción de la gravedad, para que partiendo en reposo del punto A llegue al punto B en el tiempo más breve posible?

Pero 60 años antes de la publicación del reto, ya se encontraba Galileo Galilei enfrentándose a tal situación. En su idea original, Galileo planteaba que el resultado a este dilema era el plano inclinado que hacía de hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Galileo no satisfecho con sus resultados sigue investigando y obtiene unos resultados bastante curiosos. En lugar de utilizar un plano inclinado combinó dos, posteriormente fue añadiendo cada vez más, hasta que se planteó la posibilidad de utilizar infinitos planos inclinados. Obteniendo la siguiente conclusión: Según la demostración precedente, parece posible concluir que el movimiento más rápido posible entre dos puntos no se produce a lo largo de la línea más corta, es decir a lo largo de una línea recta, sino a lo largo de un arco de circunferencia.

A pesar de este razonamiento brillante, Galileo no consiguió el tobogán más rápido posible, por esta razón la revista Acta Eroditorum formuló uno de los retos más populares de la historia de las Matemáticas. que en esta ocasión si encontró la respuesta correcta. Cinco fueron los matemáticos que trabajando por separado lograron tal objetivo: Johann y Jacob Bernuolli, Leibniz, L´Hôpital y hasta el mismísimo Newton.

El comienzo de la respuesta hubo que buscarlo en la Grecia Clásica utilizando un viejo estudio sobre la propagación de la luz. Tras estudiar a los clásicos Euclídes y Herón de Alejandría. Fermat, otro genio matemático dejaba la pista para seguir con las investigaciones. Puede parecer que nos estamos alejando del tema porque ¿qué tiene que ver la luz y sus leyes con el problema planteado?

En apariencia nada, pero aquí surge el genio del pequeño de los Bernoulli. Imagina una esfera cayendo por la acción de la gravedad en un medio no homogéneo, es decir, la esfera pasa de un medio a otro con densidades distintas. En este tipo de situaciones también se cumple que el trayecto más corto no es el más rápido.

Johann Bernoulli se imagina el espacio dividido en láminas de densidad distinta. Dentro de cada una la velocidad de caída de la esfera es constante, pero la densidad sufre un cambio brusco de una lámina a la siguiente y por tanto la velocidad también. En cada capa la trayectoria será un segmento rectilíneo y la trayectoria global sería una poligonal como la de la figura.

Imaginemos, como Johann, que las láminas se hacen cada vez más finas y su número aumenta sin parar. La poligonal se irá aproximando a una curva: ¡a la curva buscada!

Y como muy bien presumía Johann, no es difícil identificar esta curva con una muy popular en la época, ya investigada por Galileo, Pascal y Huygens: la cicloide.

La cicloide... la vieja conocida. Huygens ya había descubierto en 1673 otra maravillosa propiedad de esta curva tan especial: si dejamos caer una esfera desde un punto de una cicloide, el tiempo en alcanzar su punto más bajo no depende del punto inicial desde donde se suelta la esfera. O dicho de otra forma: la cicloide es la curva tautócrona: el tiempo en alcanzar el punto más bajo es el mismo para cualquier punto de la cicloide.

A la solución de Johann Bernoulli publicada en mayo de 1697 en las Acta Eruditorum, le acompañaron las de Newton, que además en una carta dirigida a Montague en enero de 1697 proporciona un método para construir la cicloide que pasa por dos puntos dados A y B, la de Leibniz, elaborada en el otoño de 1696, la de L´Hôpital y sobre todo, la más elaborada y la que sin duda más rabia debió producir a Johann, la de su hermano Jacob mucho más general que la suya, publicada en un trabajo titulado Resolución del problema de mi hermano, a quien yo a mi vez planteo otro.

La Historia de las Matemáticas en un año

En esta ocasión traigo la experiencia de los docentes del IES África de Fuenlabrada Esteban Serrano Marugán y Catalina Pascual Sánchez, los cuales desarrollaron esta idea para la asignatura taller de Matemáticas durante el curso 2004/05.

La idea está basada en el calendario del año 2006, en el que se muestra un recorrido histórico por los principales aspectos de las Matemáticas que conoce un alumno de secundaria. Este recorrido, de aproximadamente 2.600 años (comienza en el siglo VI a. C. con Thales de Mileto y termina en el tiempo actual). De esta manera, se han comprimido estos 2.600 años estudiados en 365 días (a Thales de Mileto le corresponde el 1 de Enero y al tiempo actual le corresponde el 31 de Diciembre) y así, cada día del calendario equivale a algo más de 7 años.

Para tener un mejor conocimiento de dónde se sitúan los hechos matemáticos, se completa el calendario con otros hechos históricos de interés, ya sean de tipo cultural o político, por ejemplo:

1. El nombre del mes viene flanqueado por el período histórico que representa, aproximadamente 220 años (esta cantidad varía en algunos meses por motivos del redondeo). Por ejemplo, Enero va desde el 600 a.C. al 379 a.C. (221 años) y Junio ocupa desde el año 476 al 690 (214 años).

2. En la esquina superior derecha se puede leer una frase o un resultado importante del período que trata el mes. Por ejemplo, en Abril se lee “El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión” (Herón de Alejandría) y en Septiembre “1 1 2 3 5 8 13 21 34 55…” (Sucesión de Fibonacci).

3. Entre el nombre del mes y el almanaque hay un espacio dedicado a resaltar algún hecho matemático destacable del periodo, utilizando dibujos, fotos, fórmulas, explicaciones, problemas, incluso poemas. Por ejemplo, Octubre está dedicado al Problema de la Partida Interrumpida de Paccioli y a la obra de Copérnico Sobre las Revoluciones de los Cuerpos Celestes.

4. En el fondo de cada mes, haciendo aguas y en tonos grises, hay un dibujo o una fotocopia de algo representativo del periodo y debajo se puede leer el título de lo que es. Por ejemplo, en Febrero se ve la Espiral de Arquímedes y en Agosto el Codex Vigilanus.

5. Los hechos matemáticos están en gris oscuro y la letra en blanco. Hay una breve explicación y el año a que corresponde. Así, por ejemplo, el 22 de Mayo corresponde al año 415, muerte de Hypatia.

6. Los hechos históricos no matemáticos están en gris claro y con la letra negra. También hay una brevísima explicación del acontecimiento y el año en que ocurrió. Por ejemplo, el 15 de Septiembre representa al año 1244 en el que se fundó la Universidad de Salamanca.

7. Hay una foto en tonos grises de los alumnos participantes en el día de su cumpleaños.

Como broche final, las impresiones finales de los creadores de la experiencia. Lo más visible del resultado final ha sido pues este calendario que muestra la Historia de las Matemáticas proyectada en un solo año. Por el camino han quedado muchas horas de investigación, tanto de alumnos como de profesores; intensas sesiones de explicaciones por parte de los alumnos; jornadas dedicadas al diseño de los calendarios; tardes y más tardes en las que se materializó el calendario definitivo.

Alumnos y profesores hemos quedado realmente contentos con todo el trabajo realizado, tanto con el ambiente creado como con el grado de consecución de los objetivos planteados.

Otro indicio de que los resultados han sido buenos es la excelente acogida que ha tenido el calendario entre la Comunidad Educativa. Profesores, alumnos, padres y personal no docente han coincidido en valorar este trabajo muy positivamente.

Como colofón decir que nos hemos sentido muy satisfechos al ser reconocido dicho esfuerzo y trabajo concediéndonos el Premio Francisco Giner de los Rios en su XXIII edición a la que nos habíamos presentado en la convocatoria realizada en mayo de 2006.

El diablo de los números

Ojeando la portado del libro El diablo de los números, llama poderosamente la atención el texto que aparece bajo la ilustración "Un libro para todos aquellos que temen a las Matemáticas". Nada más lejos de la realidad, este libro es perfecto para aquellos que le temen a las matemáticas; ya que al leer esta genial creación de Hans Magnus Enzenberger, uno se queda pensando que en realidad las Matemáticas no son tan terribles como parecen.

El autor, sin ser matemático, logra que quien lee su libro quede atrapado en el mundo de los números. Pero lo interesante no es sólo la pedagogía que utiliza, sino también la creatividad, que hace que chicos y grandes se sientan cómodos leyendo las peripecias por las que pasa Robert para aprender un poco más sobre los números.

El libro está compuesto por doce capítulos, que equivalen a las doce noches en que transcurren los sueños de Robert. Cada una de estas noches es como un cuento con principio y final, pero cada una guarda una secuencia lógica con la anterior, en los temas que aborda.

¿Cuánto pesa?

Si una pelota de basket pesa medio kilo más la mitad de su propio peso, ¿cuánto pesa?

Una de zapatos (solución)

El reto de Pitágoras comenzó con una de zapatos pues bien, hoy antes de dar entrada a un nuevo reto, se desvela el anterior.

Mucha gente, al tratar de resolver este acertijo, se dice: "Supongamos que el primer zapato que saco es rojo. Necesito otro rojo para hacer el par, pero el próximo puede ser azul, y el próximo, y el próximo, y así hasta sacar del cajón los diez zapatos azules. El siguiente zapato tiene que ser rojo, así que la respuesta debe ser doce zapatos".

Pero este razonamiento pasa algo por alto. No es necesario que el par sea de zapatos rojos. Sólo es necesario que los dos zapatos sean de igual color. Si los dos primeros no son iguales, es seguro que el tercero será igual a uno de los otros dos, de modo que la respuesta correcta es tres zapatos.

Números racionales

Cuando la semana pasada comenté brevemente la historia de la trigonometría, ilustré la entrada con el Papiro Rhind, pues bien, en esta ocasión que hablaré sobre los orígenes de los números raciones también aludiré a mencionado documento.

Los números racionales o fracciones aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas.

Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los números racionales.

Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.

En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los números racionales en la vieja Europa. Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el numerador del denominador.

21 black jack

La película 21 black jack está basada en una historia real. Ben Campbell (Jim Sturgess), estudiante superdotado del M.I.T., desea estudiar Medicina en Harvard pero para ello necesita 300.000 dólares que no tiene. Su profesor de Ecuaciones no lineales (Kevin Spacey) le propone unirse a un grupo de estudiantes aventajados.

Éstos dedican los fines de semana a ganar mucho dinero en los casinos de Las Vegas jugando al Blackjack. El método se basa en contar las cartas que van saliendo y calcular en cada momento probabilidades sobre las que quedan por salir, pero
no está al alcance de cualquiera. Se precisa primero la observación sistemática por parte de un compañero del grupo y el paso de información al “gran jugador” mediante un sistema de gestos y claves. Éste debe ser capaz de razonar fríamente bajo
presión, aplicando rápidamente el cálculo mental de probabilidades mientras apuesta grandes cantidades de dinero.

Ben acepta y empieza su carrera de éxitos. Pero en un momento dado las emociones le dominan y los matones del casino le descubren. Empiezan los problemas; y el mayor de ellos será el conflicto con el profesor.

Esta película puede ser un recurso muy útil para introducir el bloque de estadística y probabilidad en el segundo ciclo de Educación Secundaria, debido a que a lo largo de la misma se suceden diversas situaciones que aluden a contenidos de este bloque, como por ejemplo el problema de Monty Hall.

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let's Make a Deal(Hagamos un trato). Famoso entre 1963 y 1986. Su nombre proviene del presentador, Monty Hall.

En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe donde está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección original, o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

¿Cuál sería la opción correcta?
1. Quedarse con la puerta inicial
2. Cambiar a la otra puerta
3- Es irrelevante cambiar o no cambiar

Dominó de fracciones

Uno de los retos a los que se enfrenta el maestro de matemáticas, es el despertar el gusto y el interés por esta ciencia que se desarrolla día a día e interviene en todos los aspectos de nuestra vida, dándonos respuesta a mil situaciones de nuestra vida cotidiana.

En esta ocasión trabajaremos con un dominó de fracciones, estos tipos de dominós fueron introducidos por el Grupo Cero de Valencia y publicados en 1988 en su libro “Recursos para el aula de matemáticas” de la Editorial Síntesis.

Con éste en concreto, pretendemos que nuestros alumnos conozcan las fracciones equivalentes, la conversión, y algunas representaciones en una figura, a través de actividades dinámicas, aplicando las reglas del juego del dominó, para lograr un aprendizaje más significativo.

Lógicamente presentar y trabajar con este material necesita una secuanciación, si "soltamos" diréctamente el juego puede perder todo el valor pedagógico que se le pretende dar. Un ejemplo para desarrollar esta actividad puede ser la siguiente:

- Dejar unos minutos de libre manipulación con el material con el fin de que se vayan familiarizando.

- Explicar a los alumnos, como obtener una fracción equivalente a otra.

- Demostrar con dibujos (cuadrados, rectángulos y círculos) como es igual una fracción equivalente a otra.

- Fijándonos en la parte númerica de las fichas, agruparlas en fracciones equivalentes.

- Una vez que esté consolidado el concepto de fracción equivalente, explicar las reglas igual que un juego de dominó de salón y dividir la clase en grupos de cuatro.

Si finalmente conseguimos que nuestros alumnos mediante el juego aprendan temas de matemáticas que se consideran complicados, entoces aprenderán de forma significativa y rápida.

Un paseo en bici

El otro día hablando sobre la presentación del recorrido de la Vuelta ciclista a España de 2012, surgió el tema de los desarrollos en las bicicletas, ¿cuál sería el más adecuado para los puertos difíciles?. Estos comentarios hicieron que recordara un trabajo de Natalia Pulido, Esther Sanz y Leonor Solana; de la Universidad Complutense de Madrid, que viene perfecto para relacionar las matemáticas con la vida cotidiana porque... ¿Quién no ha montado alguna vez en bicicleta?

La bicicleta es un vehículo de transporte personal cuyos componentes básicos son dos ruedas generalmente de igual diámetro y dispuestas en línea, un sistema de transmisión a pedales, un cuadro metálico que le da la estructura e integra los componentes, un manillar para controlar la dirección y un sillín para sentarse. El desplazamiento se obtiene al girar con las piernas la caja de los pedales que a través de una cadena hace girar un piñón que a su vez hace girar la rueda trasera sobre el pavimento.

Una vez hecho un leve repaso sobre los componentes y su evidente funcionamiento, se pasará a desarrollar las actividades que nos llevarán a descubrir con qué desarrollo conseguiremos optimizar nuestra energía sobre la bicicleta.

Comenzamos investigando la relación entre el número de vueltas de los pedales y el número de vueltas de la rueda en una bicicleta, utilizando distintas marchas. En este primer apartado hay que utilizar una bicicleta para experimentar con ella.

Como ya sabemos, un dato importante sobre los platos y los piñones es el número de dientes que tienen. Coge una bicicleta, y apunta el número de dientes de cada plato y cada piñón. La relación de marchas suele escribirse así: nº de dientes del plato / nº de dientes del piñón. Vamos a estudiar qué ocurre con las distintas marchas.

Elige un plato y un piñón. Cuenta sus dientes para conocer la relación de marchas. Con la bicicleta dada la vuelta, y la ayuda de un cronómetro, debes contar las vueltas que das a los pedales en 50 segundos, y también las vueltas que da la rueda. Haz varias mediciones, moviendo los pedales más despacio o más rápido. Más adelante encontrarás unas tablas con los datos obtenidos.

Estás contando el número de vueltas de los pedales y el número de vueltas de la rueda. ¿Cómo seleccionarías las variables?

La variable independiente, x, es es el número de vueltas de los pedales.
La variable dependiente, y, es el número de vueltas de la rueda.

Elige tres marchas distintas, y rellena las tablas con los datos que has ido obteniendo al realizar el experimento del apartado anterior.

Los datos obtenidos en las tablas serán trabajados para calcular la ecuación de la recta que defina cada marcha.

En nuestro ejemplo, las marchas son:
Primera marcha: 42/27
Segunda marcha: 52/27
Tercera marcha: 42/19

Ecuación de cada recta:
Primera marcha: y = 1.72 x - 3.02
Segunda marcha: y = 2.07 x - 0.14
Tercera marcha: y = 2.24 x + 0.10

Una vez obtenidas las ecuaciones, es cuando pasamos un cuestionario y la experimentación saldría a la calle.

1. ¿Con cuál de las tres marchas pedaleas más fácilmente? Pedalear es más fácil con la marcha 42/27 ¿Con cuál tienes que hacer más esfuerzo?
Resulta más difícil pedalear con la marcha 42/19. Es decir, que la marcha 42/27 ofrece menos resistencia, y la 42/19 más resistencia. ¿Qué relación hay entre esta información y las pendientes de las rectas? Por tanto, ofrece más resistencia la marcha que tiene la mayor pendiente en la recta.

2. ¿En el contexto de las bicicletas, qué representa la pendiente de la recta?
La pendiente de cada recta representa el número de vueltas de la rueda adicionales para cada vuelta del pedal adicional. Si corta al eje OY en el cero, la pendiente representa el número de vueltas de la rueda por cada vuelta del pedal.

3. ¿Qué representa el punto de corte con el eje OY? ¿Cuál debería ser el punto de corte?
El corte con el eje OY representa el número de vueltas de la rueda cuando se dan cero vueltas al pedal. En teoría, debería ser cero, porque nada se moverá hasta que no se hayan movido los pedales.

4. Utiliza las ecuaciones para predecir cuántas veces dará vueltas la rueda con 50 vueltas del pedal:
La ecuación de cada recta se puede usar para calcular el número de vueltas de la rueda para un número determinado de vueltas a los pedales. Para 50 vueltas de pedal, sería:
Marcha 42/27: 1.72 · 50 - 3.02 = 82.98 --> 83 vueltas de la rueda aproximadamente
Marcha 53/27: 2.07 · 50 - 0.14 = 103.36 --> 103 vueltas de la rueda aproximadamente
Marcha 42/19: 2.24 · 50 + 0.10 = 112.10 --> 112 vueltas de la rueda aproximadamente

5. Haz la división para obtener la forma decimal de cada relación de marchas. Recuerda que la relación de marchas era: número de dientes del plato / número de dientes del piñón.
La forma decimal de la relación de marchas sería:
Marcha 42/27: 42/27 = 1.56
Marcha 53/27: 53/27 = 1.96
Marcha 42/19: 42/19 = 2.21

6. ¿Cuál es la relación entre la pendiente de la recta y la forma decimal de cada relación de marchas?
La pendiente de la recta es una aproximación a la relación de marchas.

7. Ahora fíjate en la primera marcha. Usa los datos obtenidos para calcular el número medio de vueltas del pedal, Rpedal, y el número medio de vueltas de la rueda, Rrueda (haz la media aritmética de los datos de cada columna de la tabla). Después calcula la forma decimal de la razón Rrueda / Rpedal. Calcula Rpedal , Rrueda, y Rrueda/ Rpedal para las otras dos marchas, y completa la tabla:
La tabla que obtendríamos con los datos de esta bicicleta sería:

8. ¿Cuál es la relación entre cada razón Rrueda / Rpedal y la forma decimal correspondiente a cada relación de marchas?
Cada razón Rrueda / Rpedal aproxima la correspondiente relación de marchas.

9. ¿Qué representa la razón Rrueda / Rpedal en el contexto de las bicicletas?
La razón Rrueda / Rpedal representa el número de vueltas de la rueda por cada vuelta de los pedales.

Para las siguientes sesiones trabajaríamos el último cuestionario.

1. Cada vuelta de la rueda hace que se avance una distancia igual al perímetro de la circunferencia que forma la rueda.
El diámetro de la rueda de la bicicleta que se usa en este ejemplo es de aproximadamente 68.6 centímetros. Como el perímetro de la circunferencia es π · d, el perímetro de esta rueda será: π · 68.6 = 215.5 centímetros aproximadamente

2. ¿Cuántas vueltas de la rueda son necesarias para recorrer un kilómetro?
464 vueltas

3. Para cada marcha, ¿cómo de rápido, en vueltas del pedal por minuto, tendrías que pedalear para llevar una velocidad de 20 km/h? (Usa las razones Rrueda/ Rpedal)
Marcha 42/27: 99 vueltas de pedal por minuto
Marcha 52/27: 75 vueltas de pedal por minuto
Marcha 42/19: 69 vueltas de pedal por minuto

4. Si pedaleas a 80 revoluciones por minuto en la marcha más baja, ¿cuánto recorrerás en un minuto? ¿Cuál es tu velocidad en metros por segundo? (Usa las razones Rrueda / Rpedal)
La distancia que la bicicleta recorrería en un minuto en la marcha 42/27 pedaleando a 80 revoluciones por minuto sería 269 m.
La velocidad de la bicicleta sería: 4´5 m/s

5. Si pedaleas a razón de 60 vueltas por minuto en tu marcha más alta, ¿cuánto recorrerás en un minuto? ¿Cuál es tu velocidad en metros por segundo ? (Usa las razones Rrueda / Rpedal)
La distancia que la bicicleta recorrería en un minuto en la marcha 42/19 pedaleando a 60 revoluciones por minuto: 266 m.
La velocidad de la bicicleta sería: 4´4 m/s

6. Teniendo en cuenta todo lo anterior, responde a las siguientes preguntas:
Con el mismo número de pedaladas, ¿se recorre más con un plato grande o con un plato pequeño? Con el mismo número de pedaladas, ¿se recorre más con un piñón grande o con un piñón pequeño? En general, ¿con qué combinaciones tienes que hacer mayor esfuerzo? ¿Y menos esfuerzo? ¿Qué marchas elegirías para subir una cuesta? ¿Y para bajarla?
Con el mismo número de pedaladas, con un plato grande se recorre una distancia mayor que con un plato pequeño. Por el contrario, con el mismo número de pedaladas, con un piñón grande se recorre una distancia menor que con un piñón pequeño.
Con el mismo número de pedaladas, con un plato pequeño y un piñón grande se recorre la menor distancia. Por tanto, con esta combinación se hace el menor esfuerzo, aunque se obtiene una menor velocidad. Esta es la mejor combinación para subir pendientes, como puertos de montaña.
Con el mismo número de pedaladas, con un plato grande y un piñón pequeño se recorre la mayor distancia. Con esta combinación se hace el mayor esfuerzo. Se obtiene más velocidad. Es la ideal para bajar pendientes.

A modo de conclusión comentaremos que esta experiencia trata de estudiar aspectos sencillos de las Matemáticas para aplicarlos a la vida cotidiana empleando la bicicleta como hilo conductor, buscando la relación entre la velocidad de la bicicleta y el esfuerzo necesario al pedalear y la relación de marchas.

Estos aspectos no suelen estudiarse actualmente en los institutos, ya que las clases suelen consistir en un profesor escribiendo en la pizarra y unos alumnos copiando desde sus mesas. En general, con este módulo se intenta que los alumnos trabajen las Matemáticas no desde ejercicios simples e independientes de los libros de texto, sino partiendo de la realidad.

Educar en competencias

Las leyes educativas van cambiando, adaptándose a las necesidades de las nuevas sociedades presentes en nuestro entorno. Lo mismo debe suceder con nuestra forma de enseñar, de utilizar los recursos y de presentar los conocimientos y experiencias.

Con la finalidad de trabajar en la línea de las competencias básicas, se presentaba esta actividad en el número 74 de la revista Números realizada conjuntamente con el alumnado de infantil y primaria por Francisco Morales Villegas del CEIP La Estrella. Se trata de una experencia con la que dar un sentido a la enseñanza de la numeración en el primer contacto que se tiene en la escuela.

La tarea tiene un claro producto final: elaborar una agenda telefónica como la que cualquiera puede tener en su casa, en su centro de trabajo o en el bolso. Se requiere un trabajo previo siempre necesario para que el producto final sea realizado con la mayor corrección posible.

Se puede comenzar con cualquier excusa para sacar una lista de teléfonos de la clase. Esa lista es muy útil cuando queremos llamar a la casa de cualquiera de los alumnos. Las actividades propuestas se pueden resumir con el siguiente listado:

- Entregar a cada alumno una tarjeta para que la traiga al día siguiente rellena con los números de teléfono de su familia.

- Reconocer su número de teléfono de entre los del fichero.

- Copiar su teléfono, formando una cantidad de nueve cifras.

- Comparar la coincidencia de numerales con los compañeros de la mesa.

- Copiar el número de un compañero y llevárselo a casa para llamarle.

- Comprar una agenda para anotar el número de algunos compañeros.

La actividad finaliza en la casa con una o dos llamadas a compañeros de la clase. Es necesario hacer ver a nuestros alumnos que la exactitud a la hora de copiar los números es imprescindible. Cualquier error o baile de cifras hace que no podamos llamar a la persona deseada.

Los números se utilizan constantemente en la vida diaria para indicar cantidad, establecer orden, para medir, expresar el resultado de un partido, decir el valor en euros de un producto, señalar la hora, la talla de ropa o de calzado, decir la fecha, diferenciar un número de teléfono de otro… Esto es lo que da interés y sentido al trabajo con la numeración, y no el aprendizaje del símbolo que representa a cada cifra.

Se aprende la numeración trabajando con ella en la medida en la que nos es útil, y en nuestras agendas telefónicas, el número es indispensable y tiene su utilidad. Ahora, cualquier alumno de 3, 4 o 5 años sabrá que necesita conocer, distinguir y escribir las diferentes cifras en un contexto de vida real y práctico.

El asesinato del profesor de matemáticas

A menos que la noche anterior al examen
de matemáticas hagan un esfuerzo
titánico para que les entre todo en la mollera,
Adela, Luc y Nico, tres compañeros
de colegio, sienten la amenaza de
suspender y pasar todo el verano estudiándolas.

Días después del examen, el profesor
de matemáticas, Felipe Romero, les anuncia
que no lo han superado. Pero como
resulta ser la única asignatura que han
suspendido, les da una nueva oportunidad
con la siguiente condición: no debe
enterarse el resto de la clase ni el claustro
de profesores. Si sus compañeros llegaran
a saberlo, su puesto de trabajo peligraría,
ya que no están de acuerdo con su manera
de ejercer la profesión ni con el trato
cordial que da a los alumnos.

Una tarde, Adela, Luc y Nico, no muy
seguros de que aprueben en una segunda
oportunidad, se dejan convencer por las
animosas palabras de su querido profesor.
Este les comenta que las matemáticas son
fáciles, que lo único que deben hacer es
leer bien el enunciado y poner atención a
los datos que les indican. Les explica que
las matemáticas son como un juego y que
no deben acobardarse en los exámenes. Y
les demuestra, a través de unos trucos y
adivinanzas, que son capaces de llegar a la
solución de los problemas.

Finalmente, les propone un juego
como examen: resolver una serie de acertijos
matemáticos, a modo de gymkhana.
Si lo consiguen, habrán aprobado las
matemáticas en junio.
El viernes por la tarde, a finales de
curso, Felipe Romero aparece en el descampado
donde se encuentran los niños
reflexionando sobre su futuro. El profesor
parece herido y muere ante la asustada
mirada de los niños. Antes de fallecer,
les comenta que el sobre que hay en su
bolsillo les indicará cómo buscar a su
asesino. No deben fallarle.

Una de zapatos

Hay diez zapatos rojos y diez zapatos azules mezclados en el cajón del armario. Los veinte zapatos son exactamente iguales, salvo por el color. El cuarto está absolutamente a oscuras y tú quieres dos zapatos del mismo color. ¿Cuál es el menor número de zapatos que debes sacar del cajón para estar seguro de que tienes un par del mismo color?

Trigonometría

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

La habitación de Fermat

Cuatro "genios" matemáticos que no se conocen entre sí son "aparentemente" invitados por un misterioso anfitrión llamado Fermat a una reunión para lo que han de resolver un primer enigma, que será la llave que les permitirá acudir a la cita.

Se trata de un experto en acertijos, un inventor en decadencia con un "delito" a cuestas, un brillante universitario al que le robaron una teoría matemática y una inteligente dama con un pasado turbulento.

Los cuatro quedan encerrados en una elegante sala que esconde un secreto. Tendrán que ir descubriendo qué es lo que les une para estar allí y quién desea su muerte, todo esto bajo la presión continua de ir resolviendo los sucesivos "enigmas" o "acertijos" que se les irán planteando en un tiempo determinado. En caso contrario la habitación irá menguando hasta aplastarles.

A través de sus métodos de resolución, de su forma de afrontarlos y de sus ideas, iremos conociendo la personalidad de cada uno según vaya avanzando la trama hasta conocer la resolución final.

Las actividades de resolución de pequeños problemas y situaciones, tienen una gran importancia didáctica en los procesos de formación matemática y se puede decir que con esta película y todas las actividades derivadas de la misma, los alumnos recibirán una visión diferente de las Matemáticas, haciéndolas misteriosas, divertidas y atrayentes, resultando un cóctel explosivo que hará que nuestros alumnos se introduzcan en la pantalla y sean un personaje más dentro de ella.

Parchís algebraico

El parchís algebraico es un juego para introducirnos en el mundo del álgebra. Concretando más, esta actividad pretende conseguir que los alumnos calculen el valor numérico de una expresión algebraica, trabajen las matemáticas de forma lúdica y realicen actividades en grupo.

Para alcanzar este fin nos basamos en un juego muy popular como el parchís, así se consigue captar la atención de todos a la vez que se facilita el juego ya que las normas básicas son conocidas por la inmensa mayoría.

Únicamente se han realizado dos variaciones respecto al parchís original, se ha reducido el tiempo de juego para poder adaptarnos al horario de las clases, de tal forma que el número de casillas se han reducido y las fichas de los jugadores se han limitado a dos. La otra variación, y es donde reside el atractivo pedagógico del juego, es la forma de desplazar las fichas por el tablero, no avanzaremos el número de casillas que nos indique el dado, sino que dicho múmero será el valor que tenga la x de la expresión algebraica en la que nos encontremos, calculamos el valor número de la expresión y el resultado será el número de casillas que avancemos o retrocedamos, según el signo del resultado.

Este juego lo he empleado con alumnos de 2º y 3º de ESO y los resultados han sido muy satisfactorios, consiguiendo mucha implicación por parte de los alumnos y conforme se desarrollaba el juego se notaba un aumento en la destreza para calcular valores mentalmente.

Un mundo sin números

- Os he convocado para comunicaros una decisión muy importante que quiero tomar. Hace ya algún tiempo que en la Tierra están atacando a las matemáticas, ¿qué os voy a contar que no sepáis?, y hoy, un tal Arturo Comelibros me ha dado la gran idea. ¡Un escarmiento ejemplar para todos! Vamos a conseguir que se arrepientan de tratar tan mal a las matemáticas. Es muy sencillo, vamos a hacer que los números desaparezcan, sí, van a dejar de existir... a partir de mañana... -Pitágoras hizo aquí una pausa (solo faltaba un redoble de tambor)-. ¡¡¡NO HABRÁ NÚMEROS!!! Y cuando digo que no habrá números, quiero decir que no habrá números en ningún sitio, ni siquiera en los cerebros de las personas. ¡He dicho! Y Ahora pensad, reflexionad, discutid, sumad, dividid, dibujad, y después quiero escuchar vuestra opinión.

El fragmento anterior pertenece al libro de Esteban Serrano Marugán ¡Ojalá no hubiera números! En él se relata el comienzo de una situación que intento recrear algunas veces en mis clases, imaginad un mundo sin números. ¿Cuántas veces hemos escuchado en boca de nuestros alumnos el título del libro? Desgraciadamente más de las que nos gustaría, ¿cómo puede ser que algo tan cotidiano y útil como los números sea tan poco valorado y a veces despreciado?

Pienso que esto ocurre porque no se mira con la atención necesaria nuestro entorno más próximo, los números están tan presentes en el día a día que nuestros alumnos no valoran la importancia que tienen, por ello suelo presentar algunas fotografías donde aparecen números y hacer que reflexionen como sería nuestra vida sin ellos.

¿Qué os dicen las siguientes fotografías, cómo sería nuestra vida cotidiana sin números?

Matemáticas manipulativas

Repasando experiencias en el aula que me han resultado atractivas me encuentro con el número 72 de la revista Números, en el cual se relata la que han vivido Juan Pedro Barreto y Manuel Herrera del colegio Cisneros Alter con su grupo de alumnos, utilizando un material manipulativo llamado Numerator.

El Numerator es un material manipulativo que se utiliza en la clase de Matemáticas como apoyo para el profesorado a la hora de que los alumnos desarrollen su capacidad de abstracción y razonamiento, partiendo de la manipulación y realidad concreta de éste, tanto en la enseñanza de la numeración, como en la referida al bloque de operaciones en esta área.

El paso previo a la aplicación del Numerator según relataron, consistió en pasar un sencillo cuestionario con tres preguntas destinadas a conocer la opinión de los niños respecto a la asignatura de Matemáticas. Éste se aplicó a 53 alumnos (27 de Tercero y 26 de Cuarto, ambos de Educación Primaria). Resultó sorprendente observar en los resultados, las valoraciones tan negativas que tenía el alumnado respecto a la asignatura.

Con el fin de captar el interés de los alumnos y engancharlos desde el principio en el desarrollo del Numerator, se les propuso participar en su fabricación. Se explicó a los alumnos que, mediante el juego, se iba a emplear un material nuevo para el aprendizaje de las Matemáticas que les ayudaría a descubrir, interpretar, comprender y resolver problemas.

Para ello, se mostró un tablero construido y las fichas que se iban a utilizar en el desarrollo del juego. El siguiente paso consistiría en dar a cada alumno todas las piezas del juego, para que las decoraran y personalizaran. De igual modo, se escribirían las dos reglas del juego: „Un elemento de un orden superior equivale a diez elementos de un orden inferior y diez elementos de un orden inferior equivalen a un elemento de un orden superior“.

Una vez transcurridos los dos trimestres se volvió a evaluar la percepción de las Matemáticas por parte de los alumnos, pasando el mismo cuestionario que al principio. Los resultados fueron más que satisfactorios porque cerca del 90% de los alumnos cambió su consideración respecto a la asignatura, no sólo comprendían mejor la aplicación de conceptos y algoritmos, sino que, además, les resultaba bastante amena y divertida, sintiéndose más receptivos y motivados ante la asignatura.

El señor del cero

Este libro publicado en 1996 y escrito por María Isabel Molina, es un canto a la tolerancia, a la igualdad, a la curiosidad, al conocimiento y a la amistad sin barreras de religión o ideología. La novela que recrea la vida de un joven mozárabe, permite acercarnos a los caminos de difusión de la cultura, a los complejos centros de poder del siglo X y a la civilización que el Califato de Córdoba legó a la Humanidad. La tolerancia y supremacía del Califato, en la etapa de Al-Hakam, su interés por la sabiduría, el equilibrio de poder entre Condes y Arzobispos, la importancia de los monasterios como focos de poder y de cultura, pueden ser puntos de atención para motivar la investigación y el conocimiento. Destaca también la poderosa presencia del fanatismo; tanto entre los árabes como entre los cristianos encontramos rasgos intolerantes, obsesionados por sus dogmas y cerrados a cualquier nuevo conocimiento... pero el libro deja claro que los personajes abiertos a la ciencia, tolerantes y generosos son los que hacen progresar a la humanidad. Resulta muy interesante el personaje femenino de Emma, una joven inquieta que ve en el convento la única salida para hacer realidad su ansia de libertad y de conocimiento.

Esta publicación tiene múltiples posibilidades para su uso en las aulas. Por una parte está la calidad de la prosa de María Isabel Molina y por otra la forma sencilla pero completísima de reflejar el ambiente y los principales problemas de esta etapa histórica. Es sin duda un buen libro para entender la convivencia no siempre pacífica entre las diferentes razas y culturas y, como nota original, presenta un asunto matemático (la importancia del número cero en los avances aritméticos)

Pocos alumnos sabrán el origen del número cero y el innegable avance que ello suponía para el cálculo y el desarrollo de las matemáticas. A lo dicho podemos sumar las aportaciones que se vinculan con la educación en valores y particularmente la convivencia multicultural: los personajes no son mejores o peores por pertenecer a una raza o cultura ni por profesar una religión concreta, sino que la envidia, la avaricia y la intolerancia son errores que los hombres cometemos desde tiempos inmemoriales independientemente de nuestra raza o nuestras creencias.

Comienza... Las Matemáticas de Pitágoras

En la sociedad moderna, la necesidad apremiante de desarrollar una ciudadanía que esté formada matemática, científica y tecnológicamente es muy similar a los antiguos argumentos para el logro de niveles básicos de competencia de lectura y escritura en los adultos; (...) y la formación básica matemática y científica “convierte a los individuos en menos dependientes de los demás, de modo que los procesos democráticos, los valores sociales y las oportunidades individuales no lleguen a ser dominados por las élites ilustradas” (Krugly-Smolska, 1990).

Bajo esta premisa surge la idea de que los decentes tenemos que abordar un doble papel. Por un lado, nuestra labor en el aula en la cual, como idea fundamental, no debemos olvidar que la Educación Matemática debe estar presente en todos los procesos formativos de las personas y que implica tanto el desarrollo de destrezas, procedimientos y métodos propios de las Matemáticas, como el estímulo de procesos de pensamiento matemático que fomenten en el alumnado su capacidad de análisis, de razonamiento y de expresión, que les faculte para preguntar y hacerse preguntas ante situaciones problemáticas. Y, por otro, hemos de intentar divulgar nuestro conocimiento. Nada que se desconoce es útil ni es querido. Así que la idea está muy clara, tenemos que divulgar nuestros conocimientos pero sin ahuyentar a nuestros alumnos/as.

Explicado el párrafo anterior, queda definida la intención de este espacio, dar a conocer e integrar las Matemáticas en la vida cotidiana de nuestros alumnos/as. Para lo cual he creado siete secciones con las que se irá ahondando en diferentes cuestiones:

Biblioteca matemática.

Según Gómez Senent, durante la Educación Secundaria, es común que los alumnos/as deban leer algunos libros escogidos por el profesor de Lengua y Literatura como parte de la evaluación en la asignatura. Pero, ¿por qué este método no se usa también en las clases de Matemáticas? ¿Por qué se asume que para el desarrollo cultural del adolescente es necesario conocer ciertas cuestiones “colaterales” en humanidades, mientras que en Matemáticas basta con aprender fórmulas, definiciones, teoremas, modelos y ejemplos de ejercicios?

Lo que se plantea en esta sección, tiene como objetivo principal el fomento de la lectura de textos de divulgación matemática. Con ello se persiguen tres objetivos esenciales: dinamizar la relación profesor-alumno y crear un ambiente de crítica constructiva; ampliar las perspectivas del alumno respecto a la materia que está estudiando, facilitando una mejor comprensión global; y transmitir la idea de que la cultura no sólo se compone de humanidades, sino que también debe incluir, por ejemplo, la historia de las matemáticas.

Experiencias en el aula.

Bajo el título de esta sección acogeremos las experiencias y talleres, que han realizado otros docentes con sus alumnos/as. Es aquí donde me gustaría contar con vuestra participación, es la sección ideal para compartir vivencias y aprender todos de todos.

Mira a tu alrededor.

Uno de los objetivos es mostrar la presencia y la importancia de las matemáticas en la vida diaria (fuera del sistema escolar). Porque no cabe duda que en el sistema educativo las matemáticas desempeñan un papel fundamental, pero tanto a los ciudadanos como a los actuales alumnos, cuando se les pregunta por la utilidad de las matemáticas en su vida cotidiana una vez que ya dejaron la escuela o cuando salen de las aulas, tienen muchas dificultades para dar ejemplos de usos sociales de las matemáticas más allá de las compras y las ventas.

Proyecto ludomateca.

Miguel de Guzman reflexionaba, ¿dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una pregunta caprichosa que admite múltiples respuestas. Para muchos de los que ven las Matemáticas desde afuera, ésta es mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los más matemáticos, las Matemáticas nunca deja totalmente de ser un juego, aunque además de ello tenga su formalismo.

¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa? Si cada día ofreciésemos a nuestros alumnos, junto con el "rollo" cotidiano, un elemento de diversión, incluso aunque no tuviese nada que ver con el contenido de nuestra enseñanza, el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos variarían favorablemente.

Cartelera matemática.

El cine y las Matemáticas no parecen en un principio muy afines. El cine cultiva las emociones y las Matemáticas son el reino de la abstracción. Son muchos los contrastes entro ellos: los personajes y situaciones frente a los conceptos abstractos, el sentimiento frente al rigor lógico, los puntos de vista subjetivos frente a la objetividad de la verdad lógica.

El cine usa las Matemáticas de muy diversas maneras, hay películas con una estructura matemática, otras hacen referencia a conceptos matemáticos, en ocasiones aparecen fallos matemáticos, a veces los propios matemáticos son los protagonistas y, de forma más usual, los personajes deben poner en juego su capacidad para resolver problemas de cualquier tipo, una destreza que se asienta sobre una base matemática más o menos explícita.

Un poco de Historia.

En esta sección trataremos diversos capítulos de la historia de las Matemáticas para poder mostrar a nuestos alumnos cómo las Matemáticas han aportado soluciones a problemas de diversa índole que iban surgiendo en las distintas sociedades y momentos históricos, para así reforzar la idea de que las Matemáticas son útiles en el día a día.

El reto de Pitágoras.

Los viernes disfrutaremos con los apasionantes acertijos matemáticos, serán presentados a modo de pasatiempo con los cuales estimiuar el pensamiento y la capacidad de análisis, si os atrae la idea podéis indicar la solución comentando en la entrada.

Y para terminar, si os fijáis en la columna de la izquierda se encuentra la Zona alumn@s. Allí se encuentran los cuatro cursos que componen la Educación Secuandaria, y pinchando en cada uno de ellos se puede acceder a diferentes unidades y actividades interactivas que iré recopilando para fomentar el uso de las TIC.

Ilusionado con el proyecto y el trabajo que queda por delante, os animo a contribuir y comentar donde y cuando creáis oportuno, para que así, esta pequeña parcela de internet nos sea util a todos y mejoremos en nuestra labor como docentes y consigamos que nuestro alumnado se apasione con el arte de pensar bien desde las Matemáticas.

Empezamos el 9 de enero, os espero. Un abrazo.