Las matemáticas en el mundo Islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-JwDrizm­; (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

Donald en el mágico mundo de las Matemáticas

Cualquier compendio de Cine y Matemáticas tiene que incluir este título de dibujos animados que en 1959 fue candidato para el Oscar al Mejor Cortometraje. De forma divertida nos acerca a los Pitagóricos.

El Pato Donald es un explorador en el misterioso País de las Matemáticas (son geniales los árboles con raíces cuadradas), donde el Espíritu de las Matemáticas poco a poco le irá revelando sus secretos. Se abordan estos temas: Pitágoras y la Música. El rectángulo de oro. El número de oro. El pentágono regular en la naturaleza. Las matemáticas en los juegos. Cónicas...

Esta película encierra hoy cierta contradicción entre los contenidos y los medios. Su aparente ingenuidad en personajes y situaciones la haría propia de los dos primeros años de la ESO; sin embargo, se citan contenidos (número de oro, cónicas) que no se estudian hasta 1º Bachillerato. Pero esto no llega a ser un inconveniente. En 1º o 2º ESO bastará hacer una introducción somera a esos conceptos. Después, el éxito está asegurado; se viene repitiendo temporada tras temporada. Sin embargo, en Bachillerato sería más dudosa la aceptación de una de dibujos animados.

Carrera loca

Para esta ocasión presento un juego para trabajar las operaciones con números enteros, se titula la carrera loca. Como dice el título, este juego va a ser una carrera de locura puesto que los jugadores tienen tantas opciones de avanzar como de retroceder; la causa, el signo que salga en el dado.

Seguidamente se detallan las principales normas:

Aunque está preparado para dos jugadores, pueden jugar varios. Como se ve en la figura se trata de realizar un recorrido. Ganará el jugador que haya conseguido más puntos en el momento que uno de los jugadores termine el trayecto. Es decir, no gana el que antes llegue al final del camino, sino el que tenga más puntos en el momento que llegue el primero al final.

Por turnos se irán lanzando la pareja de dados, uno con los números del 1 al 6 y otro con los signos + ó -, esto determinará que el número de casillas que se avance sea hacia delante o hacia atrás.

Si un jugador cae en una casilla que tenga un número tendrá operar con él y el número con el signo que le haya salido en la tirada (se hará una suma, una resta, una multiplicación y una división, lo que se crea más adecuado) Y se anotrará el resultado de las operaciones, puesto que estos serán los puntos que se contabilicen al finalizar el juego.

Si cae en una casilla roja no pasa nada. Pero si cae en una que tenga estrella, habrá que distinguir entre las verdes y las grises. Las verdes hacen adelantar la ficha del jugador un cuadro y las grises hacen retroceder un cuadro.

No hace falta llegar a meta con un número exacto, sin embargo si se vuelve al punto de salida se estará un turno sin jugar.

La geometría de la publicidad

Guerin decía “El aire que respiramos está compuesto de oxígeno, nitrógeno y publicidad”, en el sentido de que, como el aire, no notamos la publicidad y, sin embargo, sin que apenas la percibamos ésta influye en nosotros y en nuestra vida. Por este motivo la publicidad se ha estudiado desde diferentes puntos de vista, pero también hay aspectos matemáticos que responden a razones meditadas y a profundas inclinaciones del ser humano. En este apartado vamos a ocuparnos de ciertos aspectos matemáticos de la publicidad y de algunos rasgos destacados de los mismos.

Las grandes compañías dedican mucho tiempo y esfuerzo a diseñar y popularizar sus logotipos. La introducción o el cambio de logotipo suponen una inversión de ingentes cantidades de dinero. Porque los logotipos constituyen la primera toma de contacto y el recurso más duradero de las compañías. Un porcentaje significativo de ellos son geométricos; por lo tanto cuando se eligen figuras geométricas o dibujos con propiedades sencillas (simetrías sobre todo), es debido a que éstos tendrán un impacto seguro (profundo y duradero) en la mente humana; un aspecto que nos hace valorar más las matemáticas, incluso las elementales, y que pocas veces tomamos en consideración.

Aportamos algunos de esos logotipos, sencillos y sugerentes, clasificados por sus elementos geométricos:

Figuras elementales: Sólo con triángulos, cuadriláteros y otras figuras elementales se construyen muchos logotipos, como los que ves a continuación:

Un caso destacado es el logotipo de Mitsubishi: un triángulo equilátero al que se le quitan tres pequeños triángulos equiláteros y tres rombos que se obtienen al girar uno 120º cada vez (lo que le da el aspecto dinámico de uan hélice que gira)

Porcentajes: Se trata de un símbolo matemático que aparece con profusión. Lo encontramos en muchas entidades bancarias y en tiendas u ofertas en las que se hacen descuentos, ¿Qué había en el anagrama del Banco Zaragozano? Por supuesto que una Z, pero también un símbolo que tiene que ver con la ocupación del banco: un %. Lo mismo sucede con el Deutsche Bank que tiene un logotipo con un porcentaje despojado de casi todo detalle. También está en el logo de Iberagentes (con una gráfica ascendente, para dar mayor optimismo) y, asimismo, es el motivo principal de la cadena Día.

Simetría axial: Los logotipos, como la mayoría de los objetows que utilizamos, tienen simetría axial. Por referirnos sólo a marcas de coches, citaremos las siguientes:

Simetría central: Hay algunos casos de logotipos con simetrías central que siempre permiten leer la marca, tanto si el logotipo se halla orientado hacia arriba como hacia abajo, una característica que resulta de especial interés en el ramo textil. Eso pasa con New Man, que exhibe claramente su nombre en las tiendas, incluso estando colgados de una percha. También sucede con la cadena Oysho. Y, además, en Sun, la empresa de microelectrónica.

Cinta de Moëbius: Esta sugerente superficie está en muchos logotipos como Caixanova, Renault, Rogers o Chase Manhattan Bank.

Figuras imposibles: Otro recurso utilizados para buscar logotipos son las figuras imposibles, reales o insinuadas. Pueden servir de ejemplo el grupo inmobiliario Delta o Helvetia Seguros.

Otra de las ventajas que las matemáticas aportan al caso de la publicidad es dar seguridad a través de diversas campañas y en numerosos aspectos diferentes. Así, por ejemplo, el 100% es el símbolo de la seguridad a toda prueba, luego puede ser uno buen eslogan para una compañía de seguros (y así lo utilizó AXA en una campaña). Otra posibilidad con un resultado indiscutible es 2 + 2 = 4, y también hay símbolos especializados, como en el sumatorio de la campaña Suma Madrid, de la Comunidad de Madrid.

Por otro lado en escasas ocasiones la publicidad ofrece hallazgos que resultan aprovechables en el campo de las matemáticas. Por ejemplo, pienso que un buen eslogan para aprender aritmética sería el lema de una campaña realizada por el ONCE en el año 2000: “los números te hablan, sólo tienes que escucharlos”

Extraído de: “Matemáticas de la vida misma” Fernando Corbalán. Edit. Graó, de Irif, S.L. 1º edición: junio 2007

Geometría desde el cuarto de baño

En esta ocasión describimos una experiencia de geometría intuitiva realizada por Carlos Duque Gómez y Eva Mª Quintero Núñez,ambos del IES Mencey Bencomo; que relaciona la geometría tridimensional con la bidimensional a partir de la manipulación de los cilindros de cartón de papel higiénico. Con estas actividades se fomenta el reconocimiento de distintas formas geométricas y la simetría, y se contribuye a desarrollar la visión espacial y plana. Se puede realizar en cualquier nivel educativo y se plantea de manera esencialmente práctica y lúdica.

El objetivo principal es contribuir al desarrollo de la visión geométrica del alumnado, imaginando, intuyendo y prediciendo situaciones que contrastarán de forma manipulativa. Se repasan, además, las características de varias figuras planas (triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecio, hexágono…). También se inician en el conocimiento del cilindro, la elipse y el número Pi.

Desarrollo de la experiencia:

1. Mostrar un cilindro a los alumnos y pedir que lo describan. Conseguir, entre todos, una descripción verbal correcta y completa, que incluya los términos matemáticos y geométricos que sean necesarios. Reconocimiento del objeto como figura geométrica. Descripción por comparación o similitud con otros objetos conocidos.

2. Medidas del cilindro. ¿Qué medidas lo definen? ¿Cuántas? Tomar las medidas con la máxima precisión posible. Hacer notar que obtendremos con seguridad medidas diferentes por parte de distintos alumnos, fruto de que no todos los cilindros serán completamente iguales (diferencias en el proceso de fabricación), no todos están en perfectas condiciones, y errores en el proceso de medición. La colección de datos obtenidos de las medidas realizadas por todos los alumnos nos facilita realizar una incursión en el mundo de la estadística. Probablemente la medida más acertada sea la media de todos los datos. La moda, si se dispone de una clara mayoría, también es adecuada.

3. Calcular área y volumen. Recordar la fórmula del volumen del cilindro. Comparar con una lata de refresco, ¿cuánto refresco más (o menos) cabría en el cilindro de cartón que en la lata? Para calcular el área, provocar su deducción como rectángulo. ¿Y si tuviera tapas?

4. Definir el número pi (π) como el cociente entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia. Estimarlo midiendo circunferencia y diámetro con la mayor precisión posible. Observar, también, que se obtendrán muchos valores diferentes. La misma incursión estadística es válida aquí. Aportar otros cilindros (cd-rom, tubo donde se guardan los cd-rom, pedazo de tubería de plástico o pvc, lata de refresco, barra de pegamento, lata de conservas, el borde de un vaso…). Llegar a la conclusión de que cuanto más grande sea el diámetro del cilindro (y más rígido, para que no se deforme la circunferencia en el momento de la medición) mejor aproximación de pi conseguiremos… ¿por qué?

5. ¿Qué figuras obtendremos si realizamos un corte recto, sin doblar ni deformar el cilindro? Buscar similitudes con situaciones conocidas, por ejemplo, el corte inclinado típico de las lonchas de salchichón. ¿Cómo se llaman las figuras obtenidas (tridimensionales y planas)?

6. Si realizamos un corte longitudinal, ¿qué obtendremos, un cuadrado, un rectángulo apaisado o un rectángulo vertical?, ¿cómo podemos estar completamente seguros de la respuesta antes de cortar? (midiendo, por supuesto).

7. ¿Y si hacemos un corte oblicuo, qué figura obtendremos? ¿siempre la misma? ¿da igual lo inclinado que hagamos el corte? Comparamos los resultados de diversos cortes inclinados que han hecho varios alumnos. Serán distintos romboides…

8. Provocamos la discusión del cálculo del área de todas las figuras obtenidas hasta ahora: rectángulo y distintos romboides…

9. ¿Se podrá obtener un rombo? ¿Podrías marcar la línea por la que hay que cortar para que la figura plana que resulte sea un rombo?

10. ¿Y al revés? ¿Si unimos los lados inclinados de cualquier romboide obtendremos siempre un cilindro? ¿Y a partir de un rombo?

11. Doblamos, hacemos un corte recto (longitudinal u horizontalmente) y desdoblamos. ¿Qué figura(s) se obtiene se cada caso?

12. Seguimos trabajando con el corte longitudinal... Se producirá la discusión sobre si lo que sale son dos cuadrados o dos rectángulos.

13. Aplastamos el cilindro, realizamos un corte recto inclinado y desdoblamos. ¿Qué figuras se pueden obtener? Debemos guiar a los alumnos sucesivamente por los distintos tipos de cortes que se pueden realizar:

14. Doblamos, realizamos un corte con esquina y desdoblamos. ¿Qué figuras se podrán obtener? Si conseguimos un buen dominio de la figura cilíndrica aplastada, ¿podremos definir los cortes necesarios para obtener cualquier polígono regular o irregular?

La incógnita Newton

Cambridge, año 1888. Vanessa Duncan es una joven institutriz que ha empezado a trabajar recientemente en la ciudad universitaria como maestra de niñas. Gracias a las familias para las que trabaja, tiene la oportunidad de relacionarse con las más privilegiadas mentes matemáticas de la prestigiosa universidad. Además, el momento no podía ser más emocionante: todos se hallan inmersos en la investigación del “problema de los tres cuerpos”. El rey Oscar de Suecia ha decidido que para su 60 aniversario concederá un sustancial premio a aquel matemático que consiga resolver el problema, que fue planteado por primera vez por Isaac Newton. Sin embargo, todo da un giro inesperado cuando el profesor adjunto de matemáticas, Akers, es encontrado muerto en sus habitaciones de un violento golpe en la nuca y el enamorado de la Srta. Duncan, otro matemático llamado Weatherburn, es acusado del crimen. Vanesa se verá empujada a una inesperada aventura que la llevará por media Europa en busca del verdadero culpable en una carrera desesperada en contra de la horca.

La primera sorpresa al leer el libro es el modo epistolar en que está escrito. La protagonista escribe cartas a una hermana suya, y en ellas le va desgranando la trama en la que se va viendo inmersa. Esta forma singular de escritura, al principio puede generar una cierta incomodidad en el lector, sobre todo si pensamos en nuestros alumnos y alumnas adolescentes, pero una vez que la acción va tomando cuerpo esa sensación desaparece.

Su lectura es fácil y atrayente, pues la trama principal está aderezada con otros temas interesantes de la época: la educación de las jóvenes en la sociedad de finales del siglo XIX en Inglaterra, la búsqueda de la igualdad entre sexos y los derechos de la mujer, y, como no, la notoriedad e influencia de Lewis Carroll en todos los temas relacionados con la educación, las matemáticas y el razonamiento lógico.

Por otra parte, la aparición de personajes ilustres del mundillo de las matemáticas de la época, la controversia sobre la enseñanza de la Geometría con Euclides como centro de debate, la veracidad histórica del motivo principal de la novela, y la comprobación de que las miserias humanas también han existido en nuestra querida y admirada ciencia matemática, son factores que contribuyen a darle más realismo, insertan más profundamente a nuestras queridas matemáticas en el contexto social e histórico del momento y nos ayudan a comprender la evolución y el desarrollo de sus conocimientos y de su enseñanza.

Sin ningún género de dudas, todos estos factores nos permiten calificar esta obra como una auténtica novela matemática.

Los gatos cazadores

Si tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos, ¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?

La barra de plata (solución)

Sigue el reto de Pitágoras y exponemos la solución al reto de la última vez, la barra de plata.

El buscador puede cumplir el trato cortando su barra de plata de 31 cm en cinco partes de 1, 2, 4, 8 y 16 cm de longitud. El primer día le da a la casera el pedazo de 1 cm, el día siguiente ella se lo devuelve y él da el pedazo de 2 cm; el tercer día él vuelve a darle el pedazo de 1 cm., el cuarto día ella le devuelve ambas piezas y él le da el pedazo de barra de plata de 4 cm. Al dar y devolver de ésta manera, el buscador puede agregar un centímetro por día y cubrir así los 31 días del mes.

La solución de este problema puede expresarse muy simplemente en el sistema binario de la aritmética. Es un método para expresar números enteros utilizando solamente los dígitos 1 y 0. Recientemente se ha convertido en un sistema importante porque la mayoría de las computadoras electrónicas gigantes operan sobre una base binaria. Así es como se escribiría el número 27, por ejemplo, si usamos el sistema binario:

11011

¿Cómo sabemos que éste es e1 27? La manera de traducirlo a nuestro sistema decimal es la siguiente: sobre el dígito de la derecha del número binario, escribimos "1". Sobre el dígito siguiente, hacia la izquierda, escribimos "2"; sobre el tercer dígito hacia la izquierda escribimos "4"; sobre el dígito siguiente, "8", y sobre el último dígito de la izquierda, "16". (Ver la ilustración). Estos valores forman la serie 1, 2, 4, 8, 16, 32... en la que cada número es el doble del que lo precede.

16 8 4 2 1
1 1 0 1 1

El paso siguiente consiste en sumar todos los valores que estén sobre los “l” del número binario. En este caso, los valores son 1, 2, 8, 16 (4 no se incluye porque está sobre un 0). Sumados dan 27, de modo que el número binario 11011 es igual a1 27 de nuestro sistema numérico.

Cualquier número de 1 a 31 puede expresarse de esta manera con un número binario de no más de cinco dígitos. Exactamente de la misma manera, puede formarse cualquier número de centímetros de plata, de 1 a 31, con cinco pedazos de plata si las longitudes de esas cinco piezas son de 1, 2, 4, 8 y 16 centímetros.

La tabla siguiente consigna los números binarios para cada día de marzo. Advertirás que para el 27 de marzo el número es 11011. Esto nos dice que los 27 cm de plata de la casera estarán formados por las piezas de 1, 2, 8 y 16 cm. Elige un día al azar y advierte con cuánta rapidez puedes calcular exactamente cuáles piezas de plata sumadas dan la cantidad que corresponde al número del día.

El origen de las matemáticas griegas

Fijar un comienzo para las matemáticas griegas es muy difícil, pero se puede considerar que comienzan con Tales de Mileto (640-546, s. VI a.C.). Se le considera el primer científico por sus contribuciones astronómicas y matemáticas. Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico. Algunos de esos teoremas fueron: Todo círculo se bisecta por su diámetro. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los de otro triángulo, ambos triángulos son congruentes. Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse dos rectas son iguales. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

Después de Tales, Pitágoras, nacido en la isla de Samos, le da el impulso definitivo a las matemáticas con la creación de su gran escuela en Crotona a orillas del mar al sur de Italia. Se les atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre otros, la demostración del teorema de Pitágoras, o el descubrimiento de los irracionales, el cual fue uno de los acontecimientos más profundos en la historia de las matemáticas.

Además, los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas matemáticas: la aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. La doctrina pitagórica sostenía que todas las razones que rigen el mundo debían ser razones de números enteros o fraccionarios, para los pitagóricos “todo es número” ; estos puntos de vista fueron combatidos por otra escuela griega importante: la escuela Elea; su crítica tomó la forma en los trabajos de Parménides y las célebres paradojas de Zenón.

Una historia de amor

Sí, ya sé que hoy toca hablar sobre un poco de historia, pero es el día de los enamorados; entonces que mejor para celebrarlo que una historia de amor entre dos fracciones. La historia que ha sido realizada por Eva, una docente del IES Ribera del Bullaque, es presentada en formato cómic y relata la lucha de tres cuartos y dos tercios con sus respectivas familias para poder estar finalmente juntos.

La aplicación didáctica es enorme puesto que trabaja la transformación de fracciones para obtenerlas con igual denominador. Para que después digan que las matemáticas son muy frías y no pueden ser romanticas.