En esta ocasión he creado un blog paralelo especializado en el contenido curricular de 4º de ESO, allí iré posteando videos que explican diferentes apartados, complementados con aplicaciones interactivas y ejercicios, para visitarlo pincha aquí.

¡¡ Vacaciones !!

Las matemáticas de Pitágoras se despiden hasta el curso que viene. Es tiempo de playa, de ocio y de pasar más tiempo en la calle que en casa. Sé que he estado meses sin actualizar el blog, no ha sido un abandono, ha sido debido a falta de tiempo por un exceso de obligaciones. A finales de septiembre, cuando termine el verano, volveré para compartir con vosotros situaciones matemáticas que se salen del estereotipo tradional. Mientras tanto, disfrutad del verano y pasadlo bien.

Las matemáticas en el mundo Islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-JwDrizm­; (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

Donald en el mágico mundo de las Matemáticas

Cualquier compendio de Cine y Matemáticas tiene que incluir este título de dibujos animados que en 1959 fue candidato para el Oscar al Mejor Cortometraje. De forma divertida nos acerca a los Pitagóricos.

El Pato Donald es un explorador en el misterioso País de las Matemáticas (son geniales los árboles con raíces cuadradas), donde el Espíritu de las Matemáticas poco a poco le irá revelando sus secretos. Se abordan estos temas: Pitágoras y la Música. El rectángulo de oro. El número de oro. El pentágono regular en la naturaleza. Las matemáticas en los juegos. Cónicas...

Esta película encierra hoy cierta contradicción entre los contenidos y los medios. Su aparente ingenuidad en personajes y situaciones la haría propia de los dos primeros años de la ESO; sin embargo, se citan contenidos (número de oro, cónicas) que no se estudian hasta 1º Bachillerato. Pero esto no llega a ser un inconveniente. En 1º o 2º ESO bastará hacer una introducción somera a esos conceptos. Después, el éxito está asegurado; se viene repitiendo temporada tras temporada. Sin embargo, en Bachillerato sería más dudosa la aceptación de una de dibujos animados.

Carrera loca

Para esta ocasión presento un juego para trabajar las operaciones con números enteros, se titula la carrera loca. Como dice el título, este juego va a ser una carrera de locura puesto que los jugadores tienen tantas opciones de avanzar como de retroceder; la causa, el signo que salga en el dado.

Seguidamente se detallan las principales normas:

Aunque está preparado para dos jugadores, pueden jugar varios. Como se ve en la figura se trata de realizar un recorrido. Ganará el jugador que haya conseguido más puntos en el momento que uno de los jugadores termine el trayecto. Es decir, no gana el que antes llegue al final del camino, sino el que tenga más puntos en el momento que llegue el primero al final.

Por turnos se irán lanzando la pareja de dados, uno con los números del 1 al 6 y otro con los signos + ó -, esto determinará que el número de casillas que se avance sea hacia delante o hacia atrás.

Si un jugador cae en una casilla que tenga un número tendrá operar con él y el número con el signo que le haya salido en la tirada (se hará una suma, una resta, una multiplicación y una división, lo que se crea más adecuado) Y se anotrará el resultado de las operaciones, puesto que estos serán los puntos que se contabilicen al finalizar el juego.

Si cae en una casilla roja no pasa nada. Pero si cae en una que tenga estrella, habrá que distinguir entre las verdes y las grises. Las verdes hacen adelantar la ficha del jugador un cuadro y las grises hacen retroceder un cuadro.

No hace falta llegar a meta con un número exacto, sin embargo si se vuelve al punto de salida se estará un turno sin jugar.

La geometría de la publicidad

Guerin decía “El aire que respiramos está compuesto de oxígeno, nitrógeno y publicidad”, en el sentido de que, como el aire, no notamos la publicidad y, sin embargo, sin que apenas la percibamos ésta influye en nosotros y en nuestra vida. Por este motivo la publicidad se ha estudiado desde diferentes puntos de vista, pero también hay aspectos matemáticos que responden a razones meditadas y a profundas inclinaciones del ser humano. En este apartado vamos a ocuparnos de ciertos aspectos matemáticos de la publicidad y de algunos rasgos destacados de los mismos.

Las grandes compañías dedican mucho tiempo y esfuerzo a diseñar y popularizar sus logotipos. La introducción o el cambio de logotipo suponen una inversión de ingentes cantidades de dinero. Porque los logotipos constituyen la primera toma de contacto y el recurso más duradero de las compañías. Un porcentaje significativo de ellos son geométricos; por lo tanto cuando se eligen figuras geométricas o dibujos con propiedades sencillas (simetrías sobre todo), es debido a que éstos tendrán un impacto seguro (profundo y duradero) en la mente humana; un aspecto que nos hace valorar más las matemáticas, incluso las elementales, y que pocas veces tomamos en consideración.

Aportamos algunos de esos logotipos, sencillos y sugerentes, clasificados por sus elementos geométricos:

Figuras elementales: Sólo con triángulos, cuadriláteros y otras figuras elementales se construyen muchos logotipos, como los que ves a continuación:

Un caso destacado es el logotipo de Mitsubishi: un triángulo equilátero al que se le quitan tres pequeños triángulos equiláteros y tres rombos que se obtienen al girar uno 120º cada vez (lo que le da el aspecto dinámico de uan hélice que gira)

Porcentajes: Se trata de un símbolo matemático que aparece con profusión. Lo encontramos en muchas entidades bancarias y en tiendas u ofertas en las que se hacen descuentos, ¿Qué había en el anagrama del Banco Zaragozano? Por supuesto que una Z, pero también un símbolo que tiene que ver con la ocupación del banco: un %. Lo mismo sucede con el Deutsche Bank que tiene un logotipo con un porcentaje despojado de casi todo detalle. También está en el logo de Iberagentes (con una gráfica ascendente, para dar mayor optimismo) y, asimismo, es el motivo principal de la cadena Día.

Simetría axial: Los logotipos, como la mayoría de los objetows que utilizamos, tienen simetría axial. Por referirnos sólo a marcas de coches, citaremos las siguientes:

Simetría central: Hay algunos casos de logotipos con simetrías central que siempre permiten leer la marca, tanto si el logotipo se halla orientado hacia arriba como hacia abajo, una característica que resulta de especial interés en el ramo textil. Eso pasa con New Man, que exhibe claramente su nombre en las tiendas, incluso estando colgados de una percha. También sucede con la cadena Oysho. Y, además, en Sun, la empresa de microelectrónica.

Cinta de Moëbius: Esta sugerente superficie está en muchos logotipos como Caixanova, Renault, Rogers o Chase Manhattan Bank.

Figuras imposibles: Otro recurso utilizados para buscar logotipos son las figuras imposibles, reales o insinuadas. Pueden servir de ejemplo el grupo inmobiliario Delta o Helvetia Seguros.

Otra de las ventajas que las matemáticas aportan al caso de la publicidad es dar seguridad a través de diversas campañas y en numerosos aspectos diferentes. Así, por ejemplo, el 100% es el símbolo de la seguridad a toda prueba, luego puede ser uno buen eslogan para una compañía de seguros (y así lo utilizó AXA en una campaña). Otra posibilidad con un resultado indiscutible es 2 + 2 = 4, y también hay símbolos especializados, como en el sumatorio de la campaña Suma Madrid, de la Comunidad de Madrid.

Por otro lado en escasas ocasiones la publicidad ofrece hallazgos que resultan aprovechables en el campo de las matemáticas. Por ejemplo, pienso que un buen eslogan para aprender aritmética sería el lema de una campaña realizada por el ONCE en el año 2000: “los números te hablan, sólo tienes que escucharlos”

Extraído de: “Matemáticas de la vida misma” Fernando Corbalán. Edit. Graó, de Irif, S.L. 1º edición: junio 2007

Geometría desde el cuarto de baño

En esta ocasión describimos una experiencia de geometría intuitiva realizada por Carlos Duque Gómez y Eva Mª Quintero Núñez,ambos del IES Mencey Bencomo; que relaciona la geometría tridimensional con la bidimensional a partir de la manipulación de los cilindros de cartón de papel higiénico. Con estas actividades se fomenta el reconocimiento de distintas formas geométricas y la simetría, y se contribuye a desarrollar la visión espacial y plana. Se puede realizar en cualquier nivel educativo y se plantea de manera esencialmente práctica y lúdica.

El objetivo principal es contribuir al desarrollo de la visión geométrica del alumnado, imaginando, intuyendo y prediciendo situaciones que contrastarán de forma manipulativa. Se repasan, además, las características de varias figuras planas (triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecio, hexágono…). También se inician en el conocimiento del cilindro, la elipse y el número Pi.

Desarrollo de la experiencia:

1. Mostrar un cilindro a los alumnos y pedir que lo describan. Conseguir, entre todos, una descripción verbal correcta y completa, que incluya los términos matemáticos y geométricos que sean necesarios. Reconocimiento del objeto como figura geométrica. Descripción por comparación o similitud con otros objetos conocidos.

2. Medidas del cilindro. ¿Qué medidas lo definen? ¿Cuántas? Tomar las medidas con la máxima precisión posible. Hacer notar que obtendremos con seguridad medidas diferentes por parte de distintos alumnos, fruto de que no todos los cilindros serán completamente iguales (diferencias en el proceso de fabricación), no todos están en perfectas condiciones, y errores en el proceso de medición. La colección de datos obtenidos de las medidas realizadas por todos los alumnos nos facilita realizar una incursión en el mundo de la estadística. Probablemente la medida más acertada sea la media de todos los datos. La moda, si se dispone de una clara mayoría, también es adecuada.

3. Calcular área y volumen. Recordar la fórmula del volumen del cilindro. Comparar con una lata de refresco, ¿cuánto refresco más (o menos) cabría en el cilindro de cartón que en la lata? Para calcular el área, provocar su deducción como rectángulo. ¿Y si tuviera tapas?

4. Definir el número pi (π) como el cociente entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia. Estimarlo midiendo circunferencia y diámetro con la mayor precisión posible. Observar, también, que se obtendrán muchos valores diferentes. La misma incursión estadística es válida aquí. Aportar otros cilindros (cd-rom, tubo donde se guardan los cd-rom, pedazo de tubería de plástico o pvc, lata de refresco, barra de pegamento, lata de conservas, el borde de un vaso…). Llegar a la conclusión de que cuanto más grande sea el diámetro del cilindro (y más rígido, para que no se deforme la circunferencia en el momento de la medición) mejor aproximación de pi conseguiremos… ¿por qué?

5. ¿Qué figuras obtendremos si realizamos un corte recto, sin doblar ni deformar el cilindro? Buscar similitudes con situaciones conocidas, por ejemplo, el corte inclinado típico de las lonchas de salchichón. ¿Cómo se llaman las figuras obtenidas (tridimensionales y planas)?

6. Si realizamos un corte longitudinal, ¿qué obtendremos, un cuadrado, un rectángulo apaisado o un rectángulo vertical?, ¿cómo podemos estar completamente seguros de la respuesta antes de cortar? (midiendo, por supuesto).

7. ¿Y si hacemos un corte oblicuo, qué figura obtendremos? ¿siempre la misma? ¿da igual lo inclinado que hagamos el corte? Comparamos los resultados de diversos cortes inclinados que han hecho varios alumnos. Serán distintos romboides…

8. Provocamos la discusión del cálculo del área de todas las figuras obtenidas hasta ahora: rectángulo y distintos romboides…

9. ¿Se podrá obtener un rombo? ¿Podrías marcar la línea por la que hay que cortar para que la figura plana que resulte sea un rombo?

10. ¿Y al revés? ¿Si unimos los lados inclinados de cualquier romboide obtendremos siempre un cilindro? ¿Y a partir de un rombo?

11. Doblamos, hacemos un corte recto (longitudinal u horizontalmente) y desdoblamos. ¿Qué figura(s) se obtiene se cada caso?

12. Seguimos trabajando con el corte longitudinal... Se producirá la discusión sobre si lo que sale son dos cuadrados o dos rectángulos.

13. Aplastamos el cilindro, realizamos un corte recto inclinado y desdoblamos. ¿Qué figuras se pueden obtener? Debemos guiar a los alumnos sucesivamente por los distintos tipos de cortes que se pueden realizar:

14. Doblamos, realizamos un corte con esquina y desdoblamos. ¿Qué figuras se podrán obtener? Si conseguimos un buen dominio de la figura cilíndrica aplastada, ¿podremos definir los cortes necesarios para obtener cualquier polígono regular o irregular?