Reflexiones sobre el origen de pi

Probablemente el número pi sea el número más estudiado y el que más interés ha despertado a lo largo de los siglos. El número pi 3´141592... es una constante que obtenemos al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro; resulta lógico pensar que si aumenta el diámetro de una circunferencia, también aumente de forma proporcional su longitud, así pues efectivamente la razón de proporción es 3´141592...

Pongamos como ejemplo una circunferencia con diámetro 10 cm. y longitud 31´41592 cm.; si el diámetro lo aumento a 14 cm. la longitud aumentará a 43´982288 cm. Se pueden comprobar la veracidad de estos calculos aplicando la conocida fórmula para calcular la longitud de una circunferencia  L = 2·∏·r 

Hemos comprobado que la piedra angular de estos cálculos reside en el número pi.

Actualmente sabemos que pi es un número irracional con infinitos decimales, pero no siempre ha sido así. Desde muy antiguo se ha intentado calcular todos los decimales de pi creyendo que era un número racional, por esta razón en cada época histórica se ha ido trabajando con una aproximación diferente del número pi. Como anécdota podemos mencionar que indirectamente en la Biblia se menciona al número pi con una aproximación a 3; en Reyes (1. 7, 23) dice: "Hizo fundir asimismo un mar de 10 codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía 5 codos de altura y a su alrededor un cordón de 30 codos".

 Si volvemos a leer detenidamente el pasaje, sacamos como información que la construcción termina en una circunferencia de diámetro 10 codos y longitud 30 codos. Aplicando la relación anterior entre la longitud y el diámetro 30/10, nos resulta pi con un valor de 3.

También en el papiro Rhind, una de las fuentes matemáticas más antiguas que ya nombramos en otra entrada sobre números racionales, se trabaja indirectamente con pi, pero en esta ocasión con un valor mucho más aproximado al actual, 3´160493827. En el problema 50 se pide que se calcule el área de un campo circular que mide 9 khet de diámetro (1 khet son aproximadamente 50 metros)

Nosotros hoy en día trabajaríamos con la fórmula A = ∏·r² con un valor aproximado de pi a 3´14 y resolveríamos sin problemas el ejercicio, pero hay que tener en cuenta que este papiro está fechado en torno al año 1650 AC y no se tenía la noción de pi que tenemos actualmente. Ahmes, el escriba que creó el mencionado papiro nos muestra la solución al problema de la siguiente manera.

Plantea el área del círculo como la de un cuadrado de lado 9

 y dice: "resta al diámetro 1/9 del mismo, que es 1. La diferencia es 8. Ahora multiplíca 8 veces 8, que da 64, ésa es el área del círculo." De sus instrucciones deducimos que la fórmula empleada para calcular el área de las figuras circulares era:

Con la fórmula de Ahmes y la perspectiva que nos da el tiempo, podemos afirmar que de sus cálculos se obtiene un valor de pi 256/81 ó lo que es lo mismo 3´1604938. 

No se sabe exactamente como Ahmes llegó a ese valor, se piensa que al tomar el área del círculo como la de un cuadrado de lado igual al diámetro dividió, el cuadrado en 9 partes exactamente iguales para formar un octógono.

Seguidamente eliminó los triángulos formados en los vértices de los cuadrados y tomó como área del octógono la del cuadrado menos los 4 triángulos de la esquina, resultándole 63. Posiblemente pensó que el octógono al no ajustarse exactamente a la circunferencia, el área de esta última sería algo mayor, de ahí que quedara el área de esta superficie en 64.

Sean como sean los cálculos de este escriba, consiguió encontrar un algoritmo para calcular el área de figuras circulares, además de justificar una aproximación al número pi que no está nada mal para los años a los que nos referimos.

Las matemáticas en el mundo Islámico

Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.

Hacia el año 900, el periodo de incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a construir sobre los conocimientos adquiridos. Entre otros avances, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. En el siglo XII, el matemático persa Omar Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. El matemático árabe Al-JwDrizm­; (de su nombre procede la palabra algoritmo, y el título de uno de sus libros es el origen de la palabra álgebra) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.

Finalmente, algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.

El origen de las matemáticas griegas

Fijar un comienzo para las matemáticas griegas es muy difícil, pero se puede considerar que comienzan con Tales de Mileto (640-546, s. VI a.C.). Se le considera el primer científico por sus contribuciones astronómicas y matemáticas. Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico. Algunos de esos teoremas fueron: Todo círculo se bisecta por su diámetro. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los de otro triángulo, ambos triángulos son congruentes. Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse dos rectas son iguales. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

Después de Tales, Pitágoras, nacido en la isla de Samos, le da el impulso definitivo a las matemáticas con la creación de su gran escuela en Crotona a orillas del mar al sur de Italia. Se les atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre otros, la demostración del teorema de Pitágoras, o el descubrimiento de los irracionales, el cual fue uno de los acontecimientos más profundos en la historia de las matemáticas.

Además, los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas matemáticas: la aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. La doctrina pitagórica sostenía que todas las razones que rigen el mundo debían ser razones de números enteros o fraccionarios, para los pitagóricos “todo es número” ; estos puntos de vista fueron combatidos por otra escuela griega importante: la escuela Elea; su crítica tomó la forma en los trabajos de Parménides y las célebres paradojas de Zenón.

Números irracionales

El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta.

Quizás el primero en constatarlo fue el célebre filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos (582 a.C. – 507 a.C.), quien estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observó que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto demostró la no completitud de los números racionales y dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos.

La Escuela Pitagórica llamó a dichos números inconmensurables. Al principio la aparición de estos “desconocidos” desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues la existencia de los irracionales ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”.

Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional.

Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez más complicados, encontrándose tipos como raíz cuadrada de (raíz cuadrada de a + raíz cuadrada de b) y otros semejantes, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional. Esta idea aparece ya bien entrado el siglo S. XVI, al considerar la idea de un número decimal aperiódico, esto es un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefinida sin obedecer a ley alguna determinada.

Números racionales

Cuando la semana pasada comenté brevemente la historia de la trigonometría, ilustré la entrada con el Papiro Rhind, pues bien, en esta ocasión que hablaré sobre los orígenes de los números raciones también aludiré a mencionado documento.

Los números racionales o fracciones aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas.

Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los números racionales.

Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650 a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.

En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los números racionales en la vieja Europa. Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la raya para separar el numerador del denominador.

Trigonometría

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.