Cuando llegamos a un parque acuático, con frecuencia se nos van los ojos hacia el Kamikaze o tobogán acuático. Resulta magestuoso verlo desde lo lejos dominar a las demás atracciones; y claro, cuando nos atrevemos a subir y lanzarnos, cuanto mayor sea la velocidad que alcancemos, mayor mérito tiene nuestra hazaña.
Pero no es fácil crear el tobagán más rápido, o al menos no fue fácil idearlo a finales del siglo XVII cuando en 1696 la revista Acta Eroditorum planteó el siguiente problema: Dados dos puntos A y B en un plano vertical, ¿cuál es la curva que debe describir un móvil M, sometido exclusivamente a la acción de la gravedad, para que partiendo en reposo del punto A llegue al punto B en el tiempo más breve posible?
Pero 60 años antes de la publicación del reto, ya se encontraba Galileo Galilei enfrentándose a tal situación. En su idea original, Galileo planteaba que el resultado a este dilema era el plano inclinado que hacía de hipotenusa en un triángulo rectángulo.
Galileo no satisfecho con sus resultados sigue investigando y obtiene unos resultados bastante curiosos. En lugar de utilizar un plano inclinado combinó dos, posteriormente fue añadiendo cada vez más, hasta que se planteó la posibilidad de utilizar infinitos planos inclinados. Obteniendo la siguiente conclusión: Según la demostración precedente, parece posible concluir que el movimiento más rápido posible entre dos puntos no se produce a lo largo de la línea más corta, es decir a lo largo de una línea recta, sino a lo largo de un arco de circunferencia.
A pesar de este razonamiento brillante, Galileo no consiguió el tobogán más rápido posible, por esta razón la revista Acta Eroditorum formuló uno de los retos más populares de la historia de las Matemáticas. que en esta ocasión si encontró la respuesta correcta. Cinco fueron los matemáticos que trabajando por separado lograron tal objetivo: Johann y Jacob Bernuolli, Leibniz, L´Hôpital y hasta el mismísimo Newton.
El comienzo de la respuesta hubo que buscarlo en la Grecia Clásica utilizando un viejo estudio sobre la propagación de la luz. Tras estudiar a los clásicos Euclídes y Herón de Alejandría. Fermat, otro genio matemático dejaba la pista para seguir con las investigaciones. Puede parecer que nos estamos alejando del tema porque ¿qué tiene que ver la luz y sus leyes con el problema planteado?
En apariencia nada, pero aquí surge el genio del pequeño de los Bernoulli. Imagina una esfera cayendo por la acción de la gravedad en un medio no homogéneo, es decir, la esfera pasa de un medio a otro con densidades distintas. En este tipo de situaciones también se cumple que el trayecto más corto no es el más rápido.
Johann Bernoulli se imagina el espacio dividido en láminas de densidad distinta. Dentro de cada una la velocidad de caída de la esfera es constante, pero la densidad sufre un cambio brusco de una lámina a la siguiente y por tanto la velocidad también. En cada capa la trayectoria será un segmento rectilíneo y la trayectoria global sería una poligonal como la de la figura.
Imaginemos, como Johann, que las láminas se hacen cada vez más finas y su número aumenta sin parar. La poligonal se irá aproximando a una curva: ¡a la curva buscada!
Y como muy bien presumía Johann, no es difícil identificar esta curva con una muy popular en la época, ya investigada por Galileo, Pascal y Huygens: la cicloide.
La cicloide... la vieja conocida. Huygens ya había descubierto en 1673 otra maravillosa propiedad de esta curva tan especial: si dejamos caer una esfera desde un punto de una cicloide, el tiempo en alcanzar su punto más bajo no depende del punto inicial desde donde se suelta la esfera. O dicho de otra forma: la cicloide es la curva tautócrona: el tiempo en alcanzar el punto más bajo es el mismo para cualquier punto de la cicloide.
A la solución de Johann Bernoulli publicada en mayo de 1697 en las Acta Eruditorum, le acompañaron las de Newton, que además en una carta dirigida a Montague en enero de 1697 proporciona un método para construir la cicloide que pasa por dos puntos dados A y B, la de Leibniz, elaborada en el otoño de 1696, la de L´Hôpital y sobre todo, la más elaborada y la que sin duda más rabia debió producir a Johann, la de su hermano Jacob mucho más general que la suya, publicada en un trabajo titulado Resolución del problema de mi hermano, a quien yo a mi vez planteo otro.
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