Un paseo en bici

El otro día hablando sobre la presentación del recorrido de la Vuelta ciclista a España de 2012, surgió el tema de los desarrollos en las bicicletas, ¿cuál sería el más adecuado para los puertos difíciles?. Estos comentarios hicieron que recordara un trabajo de Natalia Pulido, Esther Sanz y Leonor Solana; de la Universidad Complutense de Madrid, que viene perfecto para relacionar las matemáticas con la vida cotidiana porque... ¿Quién no ha montado alguna vez en bicicleta?

La bicicleta es un vehículo de transporte personal cuyos componentes básicos son dos ruedas generalmente de igual diámetro y dispuestas en línea, un sistema de transmisión a pedales, un cuadro metálico que le da la estructura e integra los componentes, un manillar para controlar la dirección y un sillín para sentarse. El desplazamiento se obtiene al girar con las piernas la caja de los pedales que a través de una cadena hace girar un piñón que a su vez hace girar la rueda trasera sobre el pavimento.

Una vez hecho un leve repaso sobre los componentes y su evidente funcionamiento, se pasará a desarrollar las actividades que nos llevarán a descubrir con qué desarrollo conseguiremos optimizar nuestra energía sobre la bicicleta.

Comenzamos investigando la relación entre el número de vueltas de los pedales y el número de vueltas de la rueda en una bicicleta, utilizando distintas marchas. En este primer apartado hay que utilizar una bicicleta para experimentar con ella.

Como ya sabemos, un dato importante sobre los platos y los piñones es el número de dientes que tienen. Coge una bicicleta, y apunta el número de dientes de cada plato y cada piñón. La relación de marchas suele escribirse así: nº de dientes del plato / nº de dientes del piñón. Vamos a estudiar qué ocurre con las distintas marchas.

Elige un plato y un piñón. Cuenta sus dientes para conocer la relación de marchas. Con la bicicleta dada la vuelta, y la ayuda de un cronómetro, debes contar las vueltas que das a los pedales en 50 segundos, y también las vueltas que da la rueda. Haz varias mediciones, moviendo los pedales más despacio o más rápido. Más adelante encontrarás unas tablas con los datos obtenidos.

Estás contando el número de vueltas de los pedales y el número de vueltas de la rueda. ¿Cómo seleccionarías las variables?

La variable independiente, x, es es el número de vueltas de los pedales.
La variable dependiente, y, es el número de vueltas de la rueda.

Elige tres marchas distintas, y rellena las tablas con los datos que has ido obteniendo al realizar el experimento del apartado anterior.

Los datos obtenidos en las tablas serán trabajados para calcular la ecuación de la recta que defina cada marcha.

En nuestro ejemplo, las marchas son:
Primera marcha: 42/27
Segunda marcha: 52/27
Tercera marcha: 42/19

Ecuación de cada recta:
Primera marcha: y = 1.72 x - 3.02
Segunda marcha: y = 2.07 x - 0.14
Tercera marcha: y = 2.24 x + 0.10

Una vez obtenidas las ecuaciones, es cuando pasamos un cuestionario y la experimentación saldría a la calle.

1. ¿Con cuál de las tres marchas pedaleas más fácilmente? Pedalear es más fácil con la marcha 42/27 ¿Con cuál tienes que hacer más esfuerzo?
Resulta más difícil pedalear con la marcha 42/19. Es decir, que la marcha 42/27 ofrece menos resistencia, y la 42/19 más resistencia. ¿Qué relación hay entre esta información y las pendientes de las rectas? Por tanto, ofrece más resistencia la marcha que tiene la mayor pendiente en la recta.

2. ¿En el contexto de las bicicletas, qué representa la pendiente de la recta?
La pendiente de cada recta representa el número de vueltas de la rueda adicionales para cada vuelta del pedal adicional. Si corta al eje OY en el cero, la pendiente representa el número de vueltas de la rueda por cada vuelta del pedal.

3. ¿Qué representa el punto de corte con el eje OY? ¿Cuál debería ser el punto de corte?
El corte con el eje OY representa el número de vueltas de la rueda cuando se dan cero vueltas al pedal. En teoría, debería ser cero, porque nada se moverá hasta que no se hayan movido los pedales.

4. Utiliza las ecuaciones para predecir cuántas veces dará vueltas la rueda con 50 vueltas del pedal:
La ecuación de cada recta se puede usar para calcular el número de vueltas de la rueda para un número determinado de vueltas a los pedales. Para 50 vueltas de pedal, sería:
Marcha 42/27: 1.72 · 50 - 3.02 = 82.98 --> 83 vueltas de la rueda aproximadamente
Marcha 53/27: 2.07 · 50 - 0.14 = 103.36 --> 103 vueltas de la rueda aproximadamente
Marcha 42/19: 2.24 · 50 + 0.10 = 112.10 --> 112 vueltas de la rueda aproximadamente

5. Haz la división para obtener la forma decimal de cada relación de marchas. Recuerda que la relación de marchas era: número de dientes del plato / número de dientes del piñón.
La forma decimal de la relación de marchas sería:
Marcha 42/27: 42/27 = 1.56
Marcha 53/27: 53/27 = 1.96
Marcha 42/19: 42/19 = 2.21

6. ¿Cuál es la relación entre la pendiente de la recta y la forma decimal de cada relación de marchas?
La pendiente de la recta es una aproximación a la relación de marchas.

7. Ahora fíjate en la primera marcha. Usa los datos obtenidos para calcular el número medio de vueltas del pedal, Rpedal, y el número medio de vueltas de la rueda, Rrueda (haz la media aritmética de los datos de cada columna de la tabla). Después calcula la forma decimal de la razón Rrueda / Rpedal. Calcula Rpedal , Rrueda, y Rrueda/ Rpedal para las otras dos marchas, y completa la tabla:
La tabla que obtendríamos con los datos de esta bicicleta sería:

8. ¿Cuál es la relación entre cada razón Rrueda / Rpedal y la forma decimal correspondiente a cada relación de marchas?
Cada razón Rrueda / Rpedal aproxima la correspondiente relación de marchas.

9. ¿Qué representa la razón Rrueda / Rpedal en el contexto de las bicicletas?
La razón Rrueda / Rpedal representa el número de vueltas de la rueda por cada vuelta de los pedales.

Para las siguientes sesiones trabajaríamos el último cuestionario.

1. Cada vuelta de la rueda hace que se avance una distancia igual al perímetro de la circunferencia que forma la rueda.
El diámetro de la rueda de la bicicleta que se usa en este ejemplo es de aproximadamente 68.6 centímetros. Como el perímetro de la circunferencia es π · d, el perímetro de esta rueda será: π · 68.6 = 215.5 centímetros aproximadamente

2. ¿Cuántas vueltas de la rueda son necesarias para recorrer un kilómetro?
464 vueltas

3. Para cada marcha, ¿cómo de rápido, en vueltas del pedal por minuto, tendrías que pedalear para llevar una velocidad de 20 km/h? (Usa las razones Rrueda/ Rpedal)
Marcha 42/27: 99 vueltas de pedal por minuto
Marcha 52/27: 75 vueltas de pedal por minuto
Marcha 42/19: 69 vueltas de pedal por minuto

4. Si pedaleas a 80 revoluciones por minuto en la marcha más baja, ¿cuánto recorrerás en un minuto? ¿Cuál es tu velocidad en metros por segundo? (Usa las razones Rrueda / Rpedal)
La distancia que la bicicleta recorrería en un minuto en la marcha 42/27 pedaleando a 80 revoluciones por minuto sería 269 m.
La velocidad de la bicicleta sería: 4´5 m/s

5. Si pedaleas a razón de 60 vueltas por minuto en tu marcha más alta, ¿cuánto recorrerás en un minuto? ¿Cuál es tu velocidad en metros por segundo ? (Usa las razones Rrueda / Rpedal)
La distancia que la bicicleta recorrería en un minuto en la marcha 42/19 pedaleando a 60 revoluciones por minuto: 266 m.
La velocidad de la bicicleta sería: 4´4 m/s

6. Teniendo en cuenta todo lo anterior, responde a las siguientes preguntas:
Con el mismo número de pedaladas, ¿se recorre más con un plato grande o con un plato pequeño? Con el mismo número de pedaladas, ¿se recorre más con un piñón grande o con un piñón pequeño? En general, ¿con qué combinaciones tienes que hacer mayor esfuerzo? ¿Y menos esfuerzo? ¿Qué marchas elegirías para subir una cuesta? ¿Y para bajarla?
Con el mismo número de pedaladas, con un plato grande se recorre una distancia mayor que con un plato pequeño. Por el contrario, con el mismo número de pedaladas, con un piñón grande se recorre una distancia menor que con un piñón pequeño.
Con el mismo número de pedaladas, con un plato pequeño y un piñón grande se recorre la menor distancia. Por tanto, con esta combinación se hace el menor esfuerzo, aunque se obtiene una menor velocidad. Esta es la mejor combinación para subir pendientes, como puertos de montaña.
Con el mismo número de pedaladas, con un plato grande y un piñón pequeño se recorre la mayor distancia. Con esta combinación se hace el mayor esfuerzo. Se obtiene más velocidad. Es la ideal para bajar pendientes.

A modo de conclusión comentaremos que esta experiencia trata de estudiar aspectos sencillos de las Matemáticas para aplicarlos a la vida cotidiana empleando la bicicleta como hilo conductor, buscando la relación entre la velocidad de la bicicleta y el esfuerzo necesario al pedalear y la relación de marchas.

Estos aspectos no suelen estudiarse actualmente en los institutos, ya que las clases suelen consistir en un profesor escribiendo en la pizarra y unos alumnos copiando desde sus mesas. En general, con este módulo se intenta que los alumnos trabajen las Matemáticas no desde ejercicios simples e independientes de los libros de texto, sino partiendo de la realidad.